فرمول کوکران؛ تعیین حجم نمونه با مثال و شرایط استفاده

فرمول کوکران برای برآورد حجم نمونهٔ لازم جهت تخمین یک نسبت در جامعه به کار می‌رود؛ مثلاً نسبت مشتریانی که از یک خدمت راضی‌اند. در شکل رایج آن، سطح اطمینان، حاشیهٔ خطای دلخواه و برآورد اولیهٔ نسبت را مشخص می‌کنید و حجم نمونه را به دست می‌آورید.

این عدد به‌تنهایی کیفیت پژوهش یا نماینده‌بودن نمونه را تضمین نمی‌کند. پیش از محاسبه باید بدانید چه چیزی را برآورد می‌کنید و افراد چگونه انتخاب می‌شوند. در ادامه، فرمول جامعهٔ بزرگ، اصلاح جامعهٔ محدود و یک مثال محاسبه‌شده را می‌بینید.

فرمول رایج کوکران چه چیزی را حساب می‌کند؟

برای برآورد نسبت، وقتی اصلاح جامعهٔ محدود را کنار می‌گذاریم، رابطه چنین است:

n₀ = z² × p × (1 − p) ÷ e²

این رابطه در راهنمای تعیین حجم نمونهٔ دانشگاه فلوریدا با عنوان فرمول کوکران برای نسبت‌ها آمده است. فرض اصلی این کاربرد، نمونه‌گیری تصادفی ساده و استفاده از تقریب نرمال برای برآورد نسبت است. اگر نسبت بسیار نزدیک صفر یا یک باشد یا شرایط تقریب مناسب نباشد، محاسبهٔ مناسب‌تری لازم می‌شود.

در اینجا «پنج واحد درصد» یعنی برای مثال فاصلهٔ ۴۵ تا ۵۵ درصد پیرامون برآورد ۵۰ درصد. این با «پنج درصدِ مقدار ۵۰ درصد» یکسان نیست.

چرا وقتی p را نمی‌دانیم، ۰٫۵ می‌گذاریم؟

در این فرمول، حاصل p × (1 − p) در p = ۰٫۵ بیشترین مقدار را دارد. بنابراین، با ثابت‌بودن سطح اطمینان و حاشیهٔ خطا، این انتخاب بزرگ‌ترین حجم نمونه را در چارچوب همین رابطه می‌دهد. اگر مطالعهٔ قبلیِ مرتبطی دارید، می‌توانید برآورد مستند آن را بررسی کنید؛ اما نسبت مربوط به جامعه یا پیامد دیگری را بی‌دلیل به مسئلهٔ خود منتقل نکنید. درس نمونه‌گیری دانشگاه پن‌استیت روش مبتنی بر برآورد قبلی و روش محافظه‌کارانه را مقایسه می‌کند.

«محافظه‌کارانه» در اینجا فقط به انتخاب p در محاسبه اشاره دارد. این انتخاب، مشکلات پرسشنامه، پوشش ناقص جامعه یا پاسخ‌ندادن بعضی گروه‌ها را برطرف نمی‌کند.

برای جامعهٔ محدود از کدام فرمول استفاده کنیم؟

اگر N معلوم باشد و نمونه‌گیری بدون جایگذاری از یک جامعهٔ محدود انجام شود، حجم نمونه با رابطهٔ زیر اصلاح می‌شود:

n = n₀ ÷ [1 + (n₀ − 1) ÷ N]

شکل معادل آن این است:

n = [N × z² × p × (1 − p)] ÷ [(N − 1) × e² + z² × p × (1 − p)]

این اصلاح وقتی سهم نمونه از جامعه قابل توجه است، بر نتیجه اثر بیشتری دارد. «جامعهٔ بزرگ» صرفاً به معنی داشتن یک عدد ظاهراً بزرگ برای N نیست؛ نسبت حجم نمونه به جامعه هم اهمیت دارد. صورت‌های رابطه و منطق اصلاح در درس پن‌استیت و مستندات بستهٔ cochranSize در CRAN آمده‌اند.

مثال فرضی: جامعهٔ ۱۰۰۰نفری با حاشیهٔ خطای پنج واحد درصد

فرض کنید می‌خواهیم نسبت کارکنان راضی از یک خدمت داخلی را در جامعه‌ای شامل ۱۰۰۰ نفر برآورد کنیم. برای این تمرین، نمونه‌گیری تصادفی ساده و بدون جایگذاری را فرض می‌کنیم؛ برآورد قبلی از نسبت نداریم، سطح اطمینان دوطرفه را ۹۵ درصد و حاشیهٔ خطای هدف را پنج واحد درصد می‌گیریم. این اعداد صرفاً برای آموزش‌اند و توصیهٔ ثابت برای همهٔ پایان‌نامه‌ها نیستند.

گام اول: محاسبه برای جامعهٔ بزرگ

z = 1.96، p = 0.5 و e = 0.05 را در رابطه می‌گذاریم:

n₀ = (1.96² × 0.5 × 0.5) ÷ 0.05² = 384.16

اگر اصلاح جامعهٔ محدود لازم نبود، عدد را رو به بالا گرد می‌کردیم: ۳۸۵ پاسخ قابل استفاده.

گام دوم: اصلاح برای N = ۱۰۰۰

برای جلوگیری از خطای ناشی از گردکردن زودهنگام، همان مقدار اعشاری n₀ را به کار می‌بریم:

n = 384.16 ÷ [1 + 383.16 ÷ 1000] ≈ 277.74

پس حجم نمونهٔ برنامه‌ریزی‌شده، پس از گردکردن رو به بالا، ۲۷۸ پاسخ قابل استفاده است. این نتیجه به همهٔ فرض‌های بالا وابسته است.

گام سوم: تعداد دعوت با تعداد پاسخ یکی نیست

اکنون، فقط برای برنامه‌ریزی همین مثال، فرض کنید انتظار داریم ۷۰ درصد افراد دعوت‌شده پاسخ قابل استفاده بدهند. تعداد دعوت اولیه از تقسیم پاسخ‌های لازم بر این نسبت به دست می‌آید:

278 ÷ 0.70 ≈ 397.14 → 398 دعوت

عدد ۷۰ درصد یک فرض آموزشی است، نه نرخ پاسخ استاندارد. ۳۹۸ دعوت نیز دریافت دقیقاً ۲۷۸ پاسخ را تضمین نمی‌کند. افزایش دعوت‌ها ممکن است کمبود تعداد پاسخ را جبران کند، اما سوگیری ناشی از تفاوت پاسخ‌دهندگان و افراد بی‌پاسخ مسئلهٔ جداگانه‌ای است. راهنمای اجرای پیمایش AAPOR بر بررسی طراحی نمونه و عدم پاسخ تأکید دارد.

با تغییر فرض‌ها، عدد چه تغییری می‌کند؟

جدول زیر محاسبهٔ آموزشی مستقلی با z = ۱٫۹۶ است. در ستون جامعهٔ محدود، N = ۱۰۰۰ و انتخاب بدون جایگذاری فرض شده است. ابتدا محاسبه با دقت اعشاری انجام شده و فقط عدد نهایی رو به بالا گرد شده است.

برای نمونه، در سطر دوم n₀ حدود ۱۰۶۷٫۱۱ و n حدود ۵۱۶٫۴۸ است؛ به همین دلیل عدد نهایی ۵۱۷ شده است. درخواست دقت بیشتر می‌تواند حجم نمونهٔ لازم را افزایش دهد، حتی وقتی جامعه تغییری نکرده است.

چه وقت این عدد برای طراحی پژوهش کافی نیست؟

• نمونهٔ در دسترس یا داوطلبانه دارید. قرار دادن تعداد جامعه در فرمول، انتخاب غیرتصادفی را به نمونه‌گیری تصادفی تبدیل نمی‌کند. حاشیهٔ خطای این رابطه را نباید بدون توجیه به چنین نمونه‌ای نسبت داد.
• هدف، آزمون فرضیه یا مقایسهٔ گروه‌هاست. حجم نمونهٔ لازم برای تشخیص یک تفاوت یا رابطه، به طراحی تحلیل و مفروضات آن بستگی دارد. محاسبهٔ نسبت برای کل جامعه جای آن را نمی‌گیرد.
• نمونه‌گیری خوشه‌ای، وزن‌دهی یا طرح پیچیده دارید. رابطهٔ پایهٔ تصادفی ساده تمام ویژگی‌های این طرح‌ها را در خود ندارد؛ اثر طرح باید جداگانه بررسی شود.
• گزارش جداگانه برای زیرگروه‌ها می‌خواهید. کافی‌بودن حجم کل به معنی دقت کافی در هر استان، شعبه یا گروه شغلی نیست.
• هدف برآورد میانگین است. برای متغیری مانند میانگین زمان انتظار، رابطهٔ متناسب با میانگین و برآورد پراکندگی لازم است. p در فرمول نسبت جای انحراف معیار را نمی‌گیرد.

استانداردهای شفافیت گزارش AAPOR نیز بین نمونهٔ احتمالی و غیراحتمالی تفاوت می‌گذارند و بر توضیح مبنای سنجه‌های دقت، طرح نمونه و اثر وزن‌دهی یا خوشه‌بندی تأکید می‌کنند.

در بخش روش پژوهش چه بنویسیم؟

به جای نوشتن «حجم نمونه طبق کوکران تعیین شد»، فرض‌ها و روش انتخاب را روشن کنید. متن زیر فقط قالب گزارش برای مثال فرضی این مقاله است:

«برای برآورد نسبت رضایت در جامعهٔ تعریف‌شدهٔ ۱۰۰۰نفری، با فرض نمونه‌گیری تصادفی سادهٔ بدون جایگذاری، سطح اطمینان دوطرفهٔ ۹۵ درصد، حاشیهٔ خطای مطلق ۰٫۰۵ و نسبت اولیهٔ ۰٫۵، حجم نمونه محاسبه شد. مقدار اولیه ۳۸۴٫۱۶ بود و پس از اصلاح جامعهٔ محدود، ۲۷۷٫۷۴ به دست آمد؛ بنابراین ۲۷۸ پاسخ قابل استفاده در نظر گرفته شد. تعداد دعوت اولیه با فرض آموزشی نرخ پاسخ ۷۰ درصد، ۳۹۸ نفر تعیین شد.»

در گزارش واقعی، نحوهٔ انتخاب افراد، تعداد پاسخ‌های دریافت‌شده، داده‌های ناقص، عدم پاسخ و محدودیت‌های اجرا را هم بنویسید. عدد برنامه‌ریزی‌شده را با نمونهٔ نهاییِ گردآوری‌شده یکی نگیرید.

منابع و مسیر بررسی محاسبه

• Glenn D. Israel، Determining Sample Size، دانشگاه فلوریدا؛ فرمول نسبت، اصلاح جامعهٔ محدود و ملاحظات طراحی.
• Penn State، STAT 506، درس Confidence Intervals and Sample Size؛ به‌ویژه بخش تعیین حجم نمونه برای نسبت.
• CRAN، Introduction to cochranSize؛ صورت رابطه و تعریف پارامترها.
• AAPOR، Best Practices for Survey Research و Disclosure Standards؛ کیفیت اجرای پیمایش و شفافیت گزارش.